Continuous, all direction derivative exist but not differentiable
简单的例子¶
\[
f(x,y) = \left\{
\begin{array}{**lr**}
\frac{2xy^3}{x^2 + y^4}, & x^2 + y^2 \ne 0 \\
0, & x^2 + y^2 = 0
\end{array}
\right.
\]
这个函数显然是连续的 (非 0 处初等所以必然连续, 0 处用均值不等式容易证明是连续的). 同时方向导数也是存在的, 但是它不可微, 只要我们逼近方式取 \(x = y^2\) 即可.
这说明任意方向方向导数存在, 并不能说明任意方式逼近导数存在.